Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}{4 - x^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 2 x}{4 - x^{2}}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 2 x}{4 - x^{2}}$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x}{4 - x^{2}}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{2} - 2 lim_{x \to 2} x}{4 - x^{2}}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{2} - 2 \cdot 2}{4 - x^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 2}{4 - x^{2}}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{4 - 4}{4 - x^{2}}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{4 - x^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{0}{2^{2} - x^{2}}$

Schritt 5.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$\frac{0}{(2 + x) (2 - x)}$

Schritt 5.3

Dividiere $0$ durch $(2 + x) (2 - x)$ .

$0$