Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + 3 x - 10}{3 x^{2} - 5 x - 2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 10}{3 x^{2} - 5 x - 2}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 10}{3 x^{2} - 5 x - 2}$

Schritt 3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 10}{3 x^{2} - 5 x - 2}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 10}{3 x^{2} - 5 x - 2}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{2} + 3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 10}{3 x^{2} - 5 x - 2}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{2} + 3 \cdot 2 - 1 \cdot 10}{3 x^{2} - 5 x - 2}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 + 3 \cdot 2 - 1 \cdot 10}{3 x^{2} - 5 x - 2}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{4 + 6 - 1 \cdot 10}{3 x^{2} - 5 x - 2}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$\frac{4 + 6 - 10}{3 x^{2} - 5 x - 2}$

Schritt 6.1.4

Addiere $4$ und $6$ .

$\frac{10 - 10}{3 x^{2} - 5 x - 2}$

Schritt 6.1.5

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$\frac{0}{3 x^{2} - 5 x - 2}$

Schritt 6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 6.2.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{0}{3 x^{2} - 5 (x) - 2}$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe $- 5$ um als $1$ plus $- 6$

$\frac{0}{3 x^{2} + (1 - 6) x - 2}$

Schritt 6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{0}{3 x^{2} + 1 x - 6 x - 2}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{0}{3 x^{2} + x - 6 x - 2}$

Schritt 6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{0}{(3 x^{2} + x) - 6 x - 2}$

Schritt 6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{0}{x (3 x + 1) - 2 (3 x + 1)}$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 1$ .

$\frac{0}{(3 x + 1) (x - 2)}$

Schritt 6.3

Dividiere $0$ durch $(3 x + 1) (x - 2)$ .

$0$