Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 2} | x - 3 | - 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} | x - 3 | - lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 1.2

Bringe den Limes zwischen die Absolutwert-Zeichen.

$\frac{| lim_{x \to 2} x - 3 | - lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{| lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3 | - lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{| lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3 | - lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{| lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3 | - 1 \cdot 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{| 2 - 1 \cdot 3 | - 1 \cdot 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{| 2 - 3 | - 1 \cdot 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{| - 1 | - 1 \cdot 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 3.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 1$ und $0$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{x^{3} - 8}$

Schritt 3.1.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{x^{3} - 8}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{0}{x^{3} - 2^{3}}$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{0}{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{0}{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}$

Schritt 3.2.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

$0$