Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to - 2} {(x + 5)}^{2} - 9}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 2} {(x + 5)}^{2} - lim_{x \to - 2} 9}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x + 5)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x + 5)}^{2} - lim_{x \to - 2} 9}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 5)}^{2} - lim_{x \to - 2} 9}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x + 5)}^{2} - lim_{x \to - 2} 9}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x + 5)}^{2} - 1 \cdot 9}{x^{2} - 4}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{{(- 2 + 5)}^{2} - 1 \cdot 9}{x^{2} - 4}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Addiere $- 2$ und $5$ .

$\frac{3^{2} - 1 \cdot 9}{x^{2} - 4}$

Schritt 3.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{x^{2} - 4}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{9 - 9}{x^{2} - 4}$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$\frac{0}{x^{2} - 4}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{0}{x^{2} - 2^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{0}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $(x + 2) (x - 2)$ .

$0$