Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 16} 4 - \sqrt{x}}{16 - x^{2}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $16$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 16} 4 - lim_{x \to 16} \sqrt{x}}{16 - x^{2}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $16$ annähert.

$\frac{4 - lim_{x \to 16} \sqrt{x}}{16 - x^{2}}$

Schritt 1.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{4 - \sqrt{lim_{x \to 16} x}}{16 - x^{2}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $16$ für $x$ .

$\frac{4 - \sqrt{16}}{16 - x^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{4 - \sqrt{4^{2}}}{16 - x^{2}}$

Schritt 3.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{16 - x^{2}}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 - 4}{16 - x^{2}}$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{16 - x^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{0}{4^{2} - x^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4$ und $b = x$ .

$\frac{0}{(4 + x) (4 - x)}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $(4 + x) (4 - x)$ .

$0$