Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 14} \sin (x - 14)}{x^{2} - 196}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 14} x - 14)}{x^{2} - 196}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $14$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to 14} x - lim_{x \to 14} 14)}{x^{2} - 196}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $14$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $14$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to 14} x - 1 \cdot 14)}{x^{2} - 196}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $14$ für $x$ .

$\frac{\sin (14 - 1 \cdot 14)}{x^{2} - 196}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $14$ .

$\frac{\sin (14 - 14)}{x^{2} - 196}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $14$ von $14$ .

$\frac{\sin (0)}{x^{2} - 196}$

Schritt 3.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{x^{2} - 196}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $196$ als $14^{2}$ um.

$\frac{0}{x^{2} - 14^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 14$ .

$\frac{0}{(x + 14) (x - 14)}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $(x + 14) (x - 14)$ .

$0$