Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x^{2} - 2}{x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x^{2} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 2}{x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 2}{x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2}{x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $2$ ist.

$- 1, 3$

Schritt 3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{0}{(x - 1) (x + 3)}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $(x - 1) (x + 3)$ .

$0$