Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - x + \ln (x)}{1 + \cos (5 π x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} \ln (x)}{1 + \cos (5 π x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} \ln (x)}{1 + \cos (5 π x)}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x + \ln (lim_{x \to 1} x)}{1 + \cos (5 π x)}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{1 + \cos (5 π x)}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (1)}{1 + \cos (5 π x)}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{1 + \cos (5 π x)}$

Schritt 5.1.2

Addiere $1 - 1$ und $0$ .

$\frac{1 - 1}{1 + \cos (5 π x)}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{1 + \cos (5 π x)}$

Schritt 5.2

Dividiere $0$ durch $1 + \cos (5 π x)$ .

$0$