Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 5 x^{3} + lim_{x \to 1} 9 x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 5 x^{3} + lim_{x \to 1} 9 x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Schritt 3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 lim_{x \to 1} x^{3} + lim_{x \to 1} 9 x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + lim_{x \to 1} 9 x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Schritt 5

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 9 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Schritt 7

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{4} - 5 \cdot 1^{3} + 9 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{4} - 5 \cdot 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Schritt 9.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{4} - 5 \cdot 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 5 \cdot 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Schritt 10.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 5 \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Schritt 10.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\frac{1 - 5 + 9 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Schritt 10.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 5 + 9 \cdot 1 - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Schritt 10.1.5

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\frac{1 - 5 + 9 - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Schritt 10.1.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$\frac{1 - 5 + 9 - 7 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Schritt 10.1.7

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$\frac{- 4 + 9 - 7 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Schritt 10.1.8

Addiere $- 4$ und $9$ .

$\frac{5 - 7 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Schritt 10.1.9

Subtrahiere $7$ von $5$ .

$\frac{- 2 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Schritt 10.1.10

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{0}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Schritt 10.2

Dividiere $0$ durch $x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1$ .

$0$