Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}{\ln (x^{2})}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x^{2})}$

Schritt 1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x^{2})}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{\ln (x^{2})}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{\ln (x^{2})}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\ln (x^{2})}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{\ln (x^{2})}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{\ln (x^{2})}$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln (x^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$\frac{0}{2 \ln (x)}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2 (0)}{2 \ln (x)}$

Schritt 3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \ln (x)$ heraus.

$\frac{2 (0)}{2 (\ln (x))}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 0}{2 \ln (x)}$

Schritt 3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{\ln (x)}$

Schritt 3.4

Dividiere $0$ durch $\ln (x)$ .

$0$