Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 2 \cdot 1 + 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{1 - 2 + 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{- 1 + 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 6.1.4

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{0}{x^{2} - 1}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{0}{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 6.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6.3

Dividiere $0$ durch $(x + 1) (x - 1)$ .

$0$