Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x^{2} + 3} - 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x^{2} + 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x^{2} + 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.6

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{1^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\sqrt{1 + 3} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.1.6

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{0}{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $(x + 1) (x - 1)$ .

$0$