Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 3} 4 x - 3}{\sqrt{x + 1}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 3}{\sqrt{x + 1}}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}{\sqrt{x + 1}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{\sqrt{x + 1}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{4 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{\sqrt{x + 1}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12 - 1 \cdot 3}{\sqrt{x + 1}}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{12 - 3}{\sqrt{x + 1}}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $3$ von $12$ .

$\frac{9}{\sqrt{x + 1}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{9}{\sqrt{x + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{9}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$

Schritt 3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{9}{\sqrt{x + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}$

Schritt 3.3.2

Potenziere $\sqrt{x + 1}$ mit $1$ .

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}}$

Schritt 3.3.3

Potenziere $\sqrt{x + 1}$ mit $1$ .

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}}$

Schritt 3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}$

Schritt 3.3.6

Schreibe ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ als $x + 1$ um.

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Schritt 3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{1}}$

Schritt 3.3.6.5

Vereinfache.

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{x + 1}$