Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to - 3} t^{2} - 9}{2 t^{2} + 7 t + 3}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $t^{2} - 9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\frac{t^{2} - 9}{2 t^{2} + 7 t + 3}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{t^{2} - 3^{2}}{2 t^{2} + 7 t + 3}$

Schritt 2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = t$ und $b = 3$ .

$\frac{(t + 3) (t - 3)}{2 t^{2} + 7 t + 3}$

Schritt 2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ und deren Summe gleich $b = 7$ ist.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 t$ heraus.

$\frac{(t + 3) (t - 3)}{2 t^{2} + 7 (t) + 3}$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $7$ um als $1$ plus $6$

$\frac{(t + 3) (t - 3)}{2 t^{2} + (1 + 6) t + 3}$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(t + 3) (t - 3)}{2 t^{2} + 1 t + 6 t + 3}$

Schritt 2.2.1.4

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$\frac{(t + 3) (t - 3)}{2 t^{2} + t + 6 t + 3}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(t + 3) (t - 3)}{(2 t^{2} + t) + 6 t + 3}$

Schritt 2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(t + 3) (t - 3)}{t (2 t + 1) + 3 (2 t + 1)}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 t + 1$ .

$\frac{(t + 3) (t - 3)}{(2 t + 1) (t + 3)}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t + 3$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(t + 3) (t - 3)}{(2 t + 1) (t + 3)}$

Schritt 2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t - 3}{2 t + 1}$