Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to - 2} x - 4}{2 - x - x^{2}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 4}{2 - x - x^{2}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4}{2 - x - x^{2}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{- 2 - 1 \cdot 4}{2 - x - x^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- 2 - 4}{2 - x - x^{2}}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $4$ von $- 2$ .

$\frac{- 6}{2 - x - x^{2}}$

Schritt 3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- 6}{- x^{2} - x + 2}$

Schritt 3.2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- 6}{- x^{2} - (x) + 2}$

Schritt 3.2.2.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$\frac{- 6}{- x^{2} + (1 - 2) x + 2}$

Schritt 3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 6}{- x^{2} + 1 x - 2 x + 2}$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 6}{- x^{2} + x - 2 x + 2}$

Schritt 3.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{- 6}{(- x^{2} + x) - 2 x + 2}$

Schritt 3.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{- 6}{x (- x + 1) + 2 (- x + 1)}$

Schritt 3.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 1$ .

$\frac{- 6}{(- x + 1) (x + 2)}$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{(- x + 1) (x + 2)}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$- \frac{6}{(- (x) + 1) (x + 2)}$

Schritt 3.5

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- \frac{6}{(- (x) - 1 (- 1)) (x + 2)}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$- \frac{6}{- (x - 1) (x + 2)}$

Schritt 3.7

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$- \frac{6}{- 1 (x - 1) (x + 2)}$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{6}{(x - 1) (x + 2)}$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{6}{(x - 1) (x + 2)}$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $\frac{6}{(x - 1) (x + 2)}$ mit $1$ .

$\frac{6}{(x - 1) (x + 2)}$