Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 7 x - 18}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + 7 x - 18}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 7 x - lim_{x \to 2} 18}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 7 x - lim_{x \to 2} 18}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 7 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 18}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $18$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 7 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 18}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{2} + 7 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 18}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{2} + 7 \cdot 2 - 1 \cdot 18}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 + 7 \cdot 2 - 1 \cdot 18}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.6.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\frac{4 + 14 - 1 \cdot 18}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$\frac{4 + 14 - 18}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.6.2

Addiere $4$ und $14$ .

$\frac{18 - 18}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.6.3

Subtrahiere $18$ von $18$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 7 x - 18}{x^{2} - 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x - 18]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x - 18]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 7 x - 18$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 7 + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.5

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 18$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 7 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.6

Addiere $2 x + 7$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 7}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 7}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 7}{2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.9

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 7}{2 x + 0}$

Schritt 1.3.10

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 7}{2 x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{2 x + 7}{x}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 2 x + 7}{lim_{x \to 2} x}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} x}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} x}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 2} x + 7}{lim_{x \to 2} x}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 + 7}{lim_{x \to 2} x}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 + 7}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 + 7}{2}$

Schritt 4.1.2

Addiere $4$ und $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{11}{2}$

Schritt 4.2

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{11}{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{11}{2}$ .

$\frac{11}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{11}{4}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{11}{4}$

Dezimalform:

$2.75$