Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to - 2} 6 x^{2} + x - 2}{2 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 2} 6 x^{2} + lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 2}{2 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 2

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 lim_{x \to - 2} x^{2} + lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 2}{2 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{6 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 2}{2 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{6 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 2}{2 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 2$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{6 {(- 2)}^{2} + lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 2}{2 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{6 {(- 2)}^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{2 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{6 \cdot 4 - 2 - 1 \cdot 2}{2 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$\frac{24 - 2 - 1 \cdot 2}{2 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{24 - 2 - 2}{2 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 6.1.4

Subtrahiere $2$ von $24$ .

$\frac{22 - 2}{2 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 6.1.5

Subtrahiere $2$ von $22$ .

$\frac{20}{2 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 6.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{20}{2 x^{2} + 3 (x) - 2}$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe $3$ um als $- 1$ plus $4$

$\frac{20}{2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2}$

Schritt 6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{20}{2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2}$

Schritt 6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{20}{(2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2}$

Schritt 6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{20}{x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1)}$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$\frac{20}{(2 x - 1) (x + 2)}$