Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 5} x - 5}{x^{2} - 10 x + 25}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5}{x^{2} - 10 x + 25}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}{x^{2} - 10 x + 25}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{x^{2} - 10 x + 25}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{5 - 5}{x^{2} - 10 x + 25}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{0}{x^{2} - 10 x + 25}$

Schritt 3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{0}{x^{2} - 10 x + 5^{2}}$

Schritt 3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{0}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Schritt 3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{0}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch ${(x - 5)}^{2}$ .

$0$