Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 3 x - 10}{x^{2} - 10 x + 25}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 3 x - lim_{x \to 5} 10}{x^{2} - 10 x + 25}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 3 x - lim_{x \to 5} 10}{x^{2} - 10 x + 25}$

Schritt 3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 10}{x^{2} - 10 x + 25}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{x^{2} - 10 x + 25}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $5$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{5^{2} - 3 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{x^{2} - 10 x + 25}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{5^{2} - 3 \cdot 5 - 1 \cdot 10}{x^{2} - 10 x + 25}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{25 - 3 \cdot 5 - 1 \cdot 10}{x^{2} - 10 x + 25}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$\frac{25 - 15 - 1 \cdot 10}{x^{2} - 10 x + 25}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$\frac{25 - 15 - 10}{x^{2} - 10 x + 25}$

Schritt 6.1.4

Subtrahiere $15$ von $25$ .

$\frac{10 - 10}{x^{2} - 10 x + 25}$

Schritt 6.1.5

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$\frac{0}{x^{2} - 10 x + 25}$

Schritt 6.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{0}{x^{2} - 10 x + 5^{2}}$

Schritt 6.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 6.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{0}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Schritt 6.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{0}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 6.3

Dividiere $0$ durch ${(x - 5)}^{2}$ .

$0$