Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} x^{2} - 3 x - 28}{2 x^{3} - 98 x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 28}{2 x^{3} - 98 x}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 28}{2 x^{3} - 98 x}$

Schritt 3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 28}{2 x^{3} - 98 x}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $28$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 28}{2 x^{3} - 98 x}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 28}{2 x^{3} - 98 x}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8^{2} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 28}{2 x^{3} - 98 x}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{64 - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 28}{2 x^{3} - 98 x}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$\frac{64 - 24 - 1 \cdot 28}{2 x^{3} - 98 x}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $28$ .

$\frac{64 - 24 - 28}{2 x^{3} - 98 x}$

Schritt 6.1.4

Subtrahiere $24$ von $64$ .

$\frac{40 - 28}{2 x^{3} - 98 x}$

Schritt 6.1.5

Subtrahiere $28$ von $40$ .

$\frac{12}{2 x^{3} - 98 x}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3} - 98 x$ heraus.

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Schritt 6.2.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\frac{12}{2 x (x^{2}) - 98 x}$

Schritt 6.2.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 98 x$ heraus.

$\frac{12}{2 x (x^{2}) + 2 x (- 49)}$

Schritt 6.2.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{2}) + 2 x (- 49)$ heraus.

$\frac{12}{2 x (x^{2} - 49)}$

Schritt 6.2.2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{12}{2 x (x^{2} - 7^{2})}$

Schritt 6.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 7$ .

$\frac{12}{2 x (x + 7) (x - 7)}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \cdot 6}{2 x (x + 7) (x - 7)}$

Schritt 6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (x + 7) (x - 7)$ heraus.

$\frac{2 \cdot 6}{2 ((x (x + 7)) (x - 7))}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 6}{2 ((x (x + 7)) (x - 7))}$

Schritt 6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{(x (x + 7)) (x - 7)}$

$\frac{6}{x (x + 7) (x - 7)}$