Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{6} - 1}}{x^{5} - 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{6} - 1}}{x^{5} - 1}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{6} - lim_{x \to - 8} 1}}{x^{5} - 1}$

Schritt 1.3

Ziehe den Exponenten $6$ von $x^{6}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} 1}}{x^{5} - 1}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - 1 \cdot 1}}{x^{5} - 1}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{{(- 8)}^{6} - 1 \cdot 1}}{x^{5} - 1}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Potenziere $- 8$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{262144 - 1 \cdot 1}}{x^{5} - 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{262144 - 1}}{x^{5} - 1}$

Schritt 3.3

Subtrahiere $1$ von $262144$ .

$\frac{\sqrt{262143}}{x^{5} - 1}$

Schritt 3.4

Schreibe $262143$ als $3^{2} \cdot 29127$ um.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $9$ aus $262143$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (29127)}}{x^{5} - 1}$

Schritt 3.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 29127}}{x^{5} - 1}$

Schritt 3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{29127}}{x^{5} - 1}$