Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{3 x^{12} - 16}}{x^{6} - 3}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 3 x^{12} - 16}}{x^{6} - 3}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 3 x^{12} - lim_{x \to 8} 16}}{x^{6} - 3}$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{3 lim_{x \to 8} x^{12} - lim_{x \to 8} 16}}{x^{6} - 3}$

Schritt 1.4

Ziehe den Exponenten $12$ von $x^{12}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{12} - lim_{x \to 8} 16}}{x^{6} - 3}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{12} - 1 \cdot 16}}{x^{6} - 3}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{3 \cdot 8^{12} - 1 \cdot 16}}{x^{6} - 3}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Potenziere $8$ mit $12$ .

$\frac{\sqrt{3 \cdot 68719476736 - 1 \cdot 16}}{x^{6} - 3}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $3$ mit $68719476736$ .

$\frac{\sqrt{206158430208 - 1 \cdot 16}}{x^{6} - 3}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{\sqrt{206158430208 - 16}}{x^{6} - 3}$

Schritt 3.4

Subtrahiere $16$ von $206158430208$ .

$\frac{\sqrt{206158430192}}{x^{6} - 3}$

Schritt 3.5

Schreibe $206158430192$ als $52^{2} \cdot 76242023$ um.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $2704$ aus $206158430192$ heraus.

$\frac{\sqrt{2704 (76242023)}}{x^{6} - 3}$

Schritt 3.5.2

Schreibe $2704$ als $52^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{52^{2} \cdot 76242023}}{x^{6} - 3}$

Schritt 3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{52 \sqrt{76242023}}{x^{6} - 3}$