Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt[5]{x} - \sqrt[9]{x}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt[5]{x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[9]{x}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[9]{x}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[9]{lim_{x \to - 8} x}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 8$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[5]{- 8} - \sqrt[9]{lim_{x \to - 8} x}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[5]{- 8} - \sqrt[9]{- 8}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $- 8$ als ${(- 1)}^{5} \cdot 8$ um.

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Schritt 5.1.1.1

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$\frac{\sqrt[5]{- 1 (8)} - \sqrt[9]{- 8}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Schritt 5.1.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{5}$ um.

$\frac{\sqrt[5]{{(- 1)}^{5} \cdot 8} - \sqrt[9]{- 8}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Schritt 5.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{- 1 \sqrt[5]{8} - \sqrt[9]{- 8}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Schritt 5.1.3

Schreibe $- 1 \sqrt[5]{8}$ als $- \sqrt[5]{8}$ um.

$\frac{- \sqrt[5]{8} - \sqrt[9]{- 8}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 8$ als ${(- 1)}^{9} \cdot 8$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$\frac{- \sqrt[5]{8} - \sqrt[9]{- 1 (8)}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{9}$ um.

$\frac{- \sqrt[5]{8} - \sqrt[9]{{(- 1)}^{9} \cdot 8}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{- \sqrt[5]{8} - (- 1 \sqrt[9]{8})}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{- \sqrt[5]{8} - (- 1 \sqrt[9]{2^{3}})}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $\sqrt[9]{2^{3}}$ als $\sqrt[3]{\sqrt[3]{2^{3}}}$ um.

$\frac{- \sqrt[5]{8} - (- 1 \sqrt[3]{\sqrt[3]{2^{3}}})}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\frac{- \sqrt[5]{8} - (- 1 \sqrt[3]{2})}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Schritt 5.1.9

Schreibe $- 1 \sqrt[3]{2}$ als $- \sqrt[3]{2}$ um.

$\frac{- \sqrt[5]{8} - - \sqrt[3]{2}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Schritt 5.1.10

Multipliziere $- - \sqrt[3]{2}$ .

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Schritt 5.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- \sqrt[5]{8} + 1 \sqrt[3]{2}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Schritt 5.1.10.2

Mutltipliziere $\sqrt[3]{2}$ mit $1$ .

$\frac{- \sqrt[5]{8} + \sqrt[3]{2}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x}$ als $x^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$\frac{- \sqrt[5]{8} + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{5}} + \sqrt[9]{x}}$

Schritt 5.2.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[9]{x}$ als $x^{\frac{1}{9}}$ neu zu schreiben.

$\frac{- \sqrt[5]{8} + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{5}} + x^{\frac{1}{9}}}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{9}}$ aus $x^{\frac{1}{5}} + x^{\frac{1}{9}}$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{9}}$ aus $x^{\frac{1}{5}}$ heraus.

$\frac{- \sqrt[5]{8} + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} x^{\frac{4}{45}} + x^{\frac{1}{9}}}$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{- \sqrt[5]{8} + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} x^{\frac{4}{45}} + x^{\frac{1}{9}} \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{9}}$ aus $x^{\frac{1}{9}} x^{\frac{4}{45}} + x^{\frac{1}{9}} \cdot 1$ heraus.

$\frac{- \sqrt[5]{8} + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} (x^{\frac{4}{45}} + 1)}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt[5]{8}$ heraus.

$\frac{- (\sqrt[5]{8}) + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} (x^{\frac{4}{45}} + 1)}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt[3]{2}$ heraus.

$\frac{- (\sqrt[5]{8}) - 1 (- \sqrt[3]{2})}{x^{\frac{1}{9}} (x^{\frac{4}{45}} + 1)}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sqrt[5]{8}) - 1 (- \sqrt[3]{2})$ heraus.

$\frac{- (\sqrt[5]{8} - \sqrt[3]{2})}{x^{\frac{1}{9}} (x^{\frac{4}{45}} + 1)}$

Schritt 5.6

Schreibe $- (\sqrt[5]{8} - \sqrt[3]{2})$ als $- 1 (\sqrt[5]{8} - \sqrt[3]{2})$ um.

$\frac{- 1 (\sqrt[5]{8} - \sqrt[3]{2})}{x^{\frac{1}{9}} (x^{\frac{4}{45}} + 1)}$

Schritt 5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sqrt[5]{8} - \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} (x^{\frac{4}{45}} + 1)}$