Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x + 3}{\sqrt{x^{2} - 5}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 3}{\sqrt{x^{2} - 5}}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3}{\sqrt{x^{2} - 5}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x + 3}{\sqrt{x^{2} - 5}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 + 3}{\sqrt{x^{2} - 5}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{16 + 3}{\sqrt{x^{2} - 5}}$

Schritt 3.1.2

Addiere $16$ und $3$ .

$\frac{19}{\sqrt{x^{2} - 5}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{19}{\sqrt{x^{2} - 5}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{x^{2} - 5}}$ .

$\frac{19}{\sqrt{x^{2} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{x^{2} - 5}}$

Schritt 3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{19}{\sqrt{x^{2} - 5}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{x^{2} - 5}}$ .

$\frac{19 \sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{x^{2} - 5}}$

Schritt 3.3.2

Potenziere $\sqrt{x^{2} - 5}$ mit $1$ .

$\frac{19 \sqrt{x^{2} - 5}}{{\sqrt{x^{2} - 5}}^{1} \sqrt{x^{2} - 5}}$

Schritt 3.3.3

Potenziere $\sqrt{x^{2} - 5}$ mit $1$ .

$\frac{19 \sqrt{x^{2} - 5}}{{\sqrt{x^{2} - 5}}^{1} {\sqrt{x^{2} - 5}}^{1}}$

Schritt 3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{19 \sqrt{x^{2} - 5}}{{\sqrt{x^{2} - 5}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{19 \sqrt{x^{2} - 5}}{{\sqrt{x^{2} - 5}}^{2}}$

Schritt 3.3.6

Schreibe ${\sqrt{x^{2} - 5}}^{2}$ als $x^{2} - 5$ um.

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Schritt 3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} - 5}$ als ${(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{19 \sqrt{x^{2} - 5}}{{({(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{19 \sqrt{x^{2} - 5}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{19 \sqrt{x^{2} - 5}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{19 \sqrt{x^{2} - 5}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{19 \sqrt{x^{2} - 5}}{{(x^{2} - 5)}^{1}}$

Schritt 3.3.6.5

Vereinfache.

$\frac{19 \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2} - 5}$