Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{- x}}{e^{x} - 1}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - e^{- x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.4

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.2.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.5.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{- x}}{e^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{- x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.4.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{- x} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.4.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 1 \cdot e^{- x})}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.4.7

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.4.9

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $0$ und $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{e^{x} + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{e^{x}}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{- x}$ und $e^{x}$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{- x}$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} e^{- 2 x}}{e^{x}}$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} e^{- 2 x}}{e^{x} \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} e^{- 2 x}}{e^{x} \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- 2 x}}{1}$

Schritt 1.4.2.4

Dividiere $e^{- 2 x}$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} e^{- 2 x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0} - 2 x}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $- 2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{- 2 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{- 2 \cdot 0}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$e^{0}$

Schritt 4.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1$