Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x^{3}} + 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Schritt 2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} + 3 lim_{x \to 8} x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{3 \sqrt{8^{3}} + 3 lim_{x \to 8} x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{3 \sqrt{8^{3}} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{3 \sqrt{512} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Schritt 7.1.2

Schreibe $512$ als $16^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $256$ aus $512$ heraus.

$\frac{3 \sqrt{256 (2)} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Schritt 7.1.2.2

Schreibe $256$ als $16^{2}$ um.

$\frac{3 \sqrt{16^{2} \cdot 2} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Schritt 7.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 (16 \sqrt{2}) + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Schritt 7.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $2 x^{3}$ als $x^{2} \cdot (2 x)$ um.

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Schritt 7.2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus.

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{2 (x^{2} x)}}$

Schritt 7.2.1.2

Stelle $2$ und $x^{2}$ um.

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{x^{2} \cdot 2 x}}$

Schritt 7.2.1.3

Füge Klammern hinzu.

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{x^{2} \cdot (2 x)}}$

Schritt 7.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$ mit $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$

Schritt 7.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$ mit $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}}$

Schritt 7.4.2

Bewege $\sqrt{2 x}$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x (\sqrt{2 x} \sqrt{2 x})}$

Schritt 7.4.3

Potenziere $\sqrt{2 x}$ mit $1$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x ({\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x})}$

Schritt 7.4.4

Potenziere $\sqrt{2 x}$ mit $1$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x ({\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1})}$

Schritt 7.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {\sqrt{2 x}}^{2}}$

Schritt 7.4.7

Schreibe ${\sqrt{2 x}}^{2}$ als $2 x$ um.

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Schritt 7.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{1}}$

Schritt 7.4.7.5

Vereinfache.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x (2 x)}$

Schritt 7.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x \cdot x \cdot 2}$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x^{2} \cdot 2}$

Schritt 7.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48 \sqrt{2} + 24$ und $2$ .

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Schritt 7.6.1

Faktorisiere $2$ aus $(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}$ heraus.

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{x^{2} \cdot 2}$

Schritt 7.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $x^{2} \cdot 2$ heraus.

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{2 \cdot x^{2}}$

Schritt 7.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{2 \cdot x^{2}}$

Schritt 7.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Schritt 7.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{24 \sqrt{2} \sqrt{2 x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Schritt 7.8

Multipliziere $24 \sqrt{2} \sqrt{2 x}$ .

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Schritt 7.8.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{24 \sqrt{2 x \cdot 2} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Schritt 7.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{24 \sqrt{4 x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Schritt 7.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.9.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{24 \sqrt{2^{2} x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Schritt 7.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{24 (2 \sqrt{x}) + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Schritt 7.9.3

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$\frac{48 \sqrt{x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Schritt 7.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.10.1

Faktorisiere $12$ aus $48 \sqrt{x} + 12 \sqrt{2 x}$ heraus.

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Schritt 7.10.1.1

Faktorisiere $12$ aus $48 \sqrt{x}$ heraus.

$\frac{12 (4 \sqrt{x}) + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Schritt 7.10.1.2

Faktorisiere $12$ aus $12 \sqrt{2 x}$ heraus.

$\frac{12 (4 \sqrt{x}) + 12 (\sqrt{2 x})}{x^{2}}$

Schritt 7.10.1.3

Faktorisiere $12$ aus $12 (4 \sqrt{x}) + 12 (\sqrt{2 x})$ heraus.

$\frac{12 (4 \sqrt{x} + \sqrt{2 x})}{x^{2}}$

Schritt 7.10.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{2 x})}{x^{2}}$

Schritt 7.10.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 7.10.4

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 7.10.5

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $4 x^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 7.10.5.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $4 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 7.10.5.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 7.10.5.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} (4 + 2^{\frac{1}{2}}))}{x^{2}}$

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}} (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 7.11

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 7.12

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.12.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2 - \frac{1}{2}}}$

Schritt 7.12.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Schritt 7.12.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Schritt 7.12.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}$

Schritt 7.12.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.12.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{4 - 1}{2}}}$

Schritt 7.12.5.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$