Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 3 x - 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Schritt 2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{2 \cdot 64 - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$\frac{128 - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$\frac{128 - 24 - 1 \cdot 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{128 - 24 - 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Schritt 7.1.5

Subtrahiere $24$ von $128$ .

$\frac{104 - 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Schritt 7.1.6

Subtrahiere $6$ von $104$ .

$\frac{98}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\frac{98}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ .

$\frac{98}{\sqrt{x^{4} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Schritt 7.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $\frac{98}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ .

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{\sqrt{x^{4} + 1} \sqrt{x^{4} + 1}}$

Schritt 7.3.2

Potenziere $\sqrt{x^{4} + 1}$ mit $1$ .

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{\sqrt{x^{4} + 1}}^{1} \sqrt{x^{4} + 1}}$

Schritt 7.3.3

Potenziere $\sqrt{x^{4} + 1}$ mit $1$ .

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{\sqrt{x^{4} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{4} + 1}}^{1}}$

Schritt 7.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{\sqrt{x^{4} + 1}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{\sqrt{x^{4} + 1}}^{2}}$

Schritt 7.3.6

Schreibe ${\sqrt{x^{4} + 1}}^{2}$ als $x^{4} + 1$ um.

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Schritt 7.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{4} + 1}$ als ${(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{({(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{1}}$

Schritt 7.3.6.5

Vereinfache.

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{x^{4} + 1}$