Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} 5 x^{3} + 2 x}{- 3 x^{4} + 3 x^{3} + 6}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 5 x^{3} + lim_{x \to 8} 2 x}{- 3 x^{4} + 3 x^{3} + 6}$

Schritt 2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 2 x}{- 3 x^{4} + 3 x^{3} + 6}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 2 x}{- 3 x^{4} + 3 x^{3} + 6}$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 lim_{x \to 8} x}{- 3 x^{4} + 3 x^{3} + 6}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{5 \cdot 8^{3} + 2 lim_{x \to 8} x}{- 3 x^{4} + 3 x^{3} + 6}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{5 \cdot 8^{3} + 2 \cdot 8}{- 3 x^{4} + 3 x^{3} + 6}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{5 \cdot 512 + 2 \cdot 8}{- 3 x^{4} + 3 x^{3} + 6}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $512$ .

$\frac{2560 + 2 \cdot 8}{- 3 x^{4} + 3 x^{3} + 6}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{2560 + 16}{- 3 x^{4} + 3 x^{3} + 6}$

Schritt 6.1.4

Addiere $2560$ und $16$ .

$\frac{2576}{- 3 x^{4} + 3 x^{3} + 6}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{4} + 3 x^{3} + 6$ heraus.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{4}$ heraus.

$\frac{2576}{3 (- x^{4}) + 3 x^{3} + 6}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$\frac{2576}{3 (- x^{4}) + 3 (x^{3}) + 6}$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{2576}{3 (- x^{4}) + 3 x^{3} + 3 \cdot 2}$

Schritt 6.2.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{4}) + 3 x^{3}$ heraus.

$\frac{2576}{3 (- x^{4} + x^{3}) + 3 \cdot 2}$

Schritt 6.2.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{4} + x^{3}) + 3 \cdot 2$ heraus.

$\frac{2576}{3 (- x^{4} + x^{3} + 2)}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{4}$ heraus.

$\frac{2576}{3 (- (x^{4}) + x^{3} + 2)}$

Schritt 6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{2576}{3 (- (x^{4}) - 1 (- x^{3}) + 2)}$

Schritt 6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4}) - 1 (- x^{3})$ heraus.

$\frac{2576}{3 (- (x^{4} - x^{3}) + 2)}$

Schritt 6.6

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{2576}{3 (- (x^{4} - x^{3}) - 1 (- 2))}$

Schritt 6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4} - x^{3}) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{2576}{3 (- (x^{4} - x^{3} - 2))}$

Schritt 6.8

Schreibe $- (x^{4} - x^{3} - 2)$ als $- 1 (x^{4} - x^{3} - 2)$ um.

$\frac{2576}{3 (- 1 (x^{4} - x^{3} - 2))}$

Schritt 6.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2576}{3 (x^{4} - x^{3} - 2)}$