Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3 x}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3 x}}$ als $e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3 x}})}$ um.

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3 x}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3 x}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{3 x}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{3 x} \ln (1 + 2 x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{3 x} \ln (1 + 2 x)}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{3 x}$ und $\ln (1 + 2 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 2 x)}{3 x}}$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 2 x)}{x}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.1.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 + 2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 + 2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.3.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 1 + 2 x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + 2 x$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + 2 x$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.7

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{1 + 2 x}$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.9

Mutltipliziere $\frac{2}{1 + 2 x}$ mit $1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 2 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.10

Stelle die Terme um.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{1}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2}{2 x + 1} \cdot 1}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{2}{2 x + 1}$ mit $1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2}{2 x + 1}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 1}}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}}$

Schritt 4.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}}$

Schritt 4.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}}$

Schritt 4.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + 1}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{2 \cdot 0 + 1}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$e^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 0 + 1}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$e^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1}}$

Schritt 6.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$e^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}}$

Schritt 6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{2}{3} \cdot 1}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$e^{\frac{2}{3}}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e^{\frac{2}{3}}$

Dezimalform:

$1.94773404 \dots$