Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\sin^{2} (8 x)}$

Schritt 1

Wandle von $\frac{1}{\sin^{2} (8 x)}$ nach $\csc^{2} (8 x)$ um.

$lim_{x \to 0} x^{2} \csc^{2} (8 x)$

Schritt 2

Schreibe $x^{2} \csc^{2} (8 x)$ als $\frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$

Schritt 3

Stelle den Grenzwert als linksseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$

Schritt 4

Berechne den linksseitigen Grenzwert.

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Schritt 4.1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Schritt 4.1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 4.1.1.2.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Schritt 4.1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Schritt 4.1.1.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Schritt 4.1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (8 x)}}$

Schritt 4.1.1.3.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{\csc^{2} (8 x)}$ $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.1.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Schritt 4.1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Schritt 4.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = \csc (8 x)$ .

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Schritt 4.1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Schritt 4.1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Schritt 4.1.3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Schritt 4.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = 8 x$ .

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Schritt 4.1.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])}$

Schritt 4.1.3.4.2

Die Ableitung von $\csc (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Schritt 4.1.3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Schritt 4.1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (8 x) (\csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Schritt 4.1.3.6

Potenziere $\csc (8 x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (8 x) \csc^{- 3} (8 x)) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Schritt 4.1.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {\csc (8 x)}^{1 - 3} (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Schritt 4.1.3.8

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Schritt 4.1.3.9

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 4.1.3.10

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.1.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.12

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x)}$

Schritt 4.1.3.13

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.13.1

Schreibe $\csc (8 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 {(\frac{1}{\sin (8 x)})}^{- 2} \cot (8 x)}$

Schritt 4.1.3.13.2

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \cot (8 x)}$

Schritt 4.1.3.13.3

Schreibe $\cot (8 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Schritt 4.1.3.13.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (8 x)$ .

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Schritt 4.1.3.13.4.1

Faktorisiere $\sin (8 x)$ aus $16 \sin^{2} (8 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Schritt 4.1.3.13.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Schritt 4.1.3.13.4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $16$ .

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Schritt 4.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16 \sin (8 x) \cos (8 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

Schritt 4.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

Schritt 4.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Schritt 4.1.5

Separiere Brüche.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \cdot \frac{1}{\sin (8 x)}$

Schritt 4.1.6

Wandle von $\frac{1}{\sin (8 x)}$ nach $\csc (8 x)$ um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \csc (8 x)$

Schritt 4.1.7

Separiere Brüche.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8} \cdot \frac{1}{\cos (8 x)} \csc (8 x)$

Schritt 4.1.8

Wandle von $\frac{1}{\cos (8 x)}$ nach $\sec (8 x)$ um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8} \sec (8 x) \csc (8 x)$

Schritt 4.1.9

Kombiniere $\frac{x}{8}$ und $\sec (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (8 x)}{8} \csc (8 x)$

Schritt 4.1.10

Kombiniere $\frac{x \sec (8 x)}{8}$ und $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (8 x) \csc (8 x)}{8}$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $\frac{1}{8}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0^{-}} x \sec (8 x) \csc (8 x)$

Schritt 4.3

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ zeigt, wenn sich $x$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & x \sec (8 x) \csc (8 x) \\ - 0.1 & 0.20008531 \\ - 0.01 & 0.12553493 \\ - 0.001 & 0.12500533 \\ - 0.0001 & 0.12500005 \end{array}$

Schritt 4.4

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0.125$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $0.125$ .

$\frac{1}{8} \cdot 0.125$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.125$ .

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $0.125$ aus $8$ heraus.

$\frac{1}{0.125 (64)} \cdot 0.125$

Schritt 4.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{0.125 \cdot 64} \cdot 0.125$

Schritt 4.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{64}$

Schritt 5

Stelle den Grenzwert als rechtsseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$

Schritt 6

Berechne den rechtsseitigen Grenzwert.

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Schritt 6.1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 6.1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 6.1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Schritt 6.1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 6.1.1.2.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Schritt 6.1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Schritt 6.1.1.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Schritt 6.1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 6.1.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (8 x)}}$

Schritt 6.1.1.3.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{\csc^{2} (8 x)}$ $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 6.1.1.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 6.1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 6.1.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Schritt 6.1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 6.1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Schritt 6.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Schritt 6.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = \csc (8 x)$ .

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Schritt 6.1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Schritt 6.1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Schritt 6.1.3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Schritt 6.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = 8 x$ .

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Schritt 6.1.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])}$

Schritt 6.1.3.4.2

Die Ableitung von $\csc (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Schritt 6.1.3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Schritt 6.1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (8 x) (\csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Schritt 6.1.3.6

Potenziere $\csc (8 x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (8 x) \csc^{- 3} (8 x)) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Schritt 6.1.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {\csc (8 x)}^{1 - 3} (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Schritt 6.1.3.8

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Schritt 6.1.3.9

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 6.1.3.10

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 6.1.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \cdot 1}$

Schritt 6.1.3.12

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x)}$

Schritt 6.1.3.13

Vereinfache.

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Schritt 6.1.3.13.1

Schreibe $\csc (8 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 {(\frac{1}{\sin (8 x)})}^{- 2} \cot (8 x)}$

Schritt 6.1.3.13.2

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \cot (8 x)}$

Schritt 6.1.3.13.3

Schreibe $\cot (8 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Schritt 6.1.3.13.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (8 x)$ .

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Schritt 6.1.3.13.4.1

Faktorisiere $\sin (8 x)$ aus $16 \sin^{2} (8 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Schritt 6.1.3.13.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Schritt 6.1.3.13.4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Schritt 6.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $16$ .

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Schritt 6.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16 \sin (8 x) \cos (8 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

Schritt 6.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

Schritt 6.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Schritt 6.1.5

Separiere Brüche.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \cdot \frac{1}{\sin (8 x)}$

Schritt 6.1.6

Wandle von $\frac{1}{\sin (8 x)}$ nach $\csc (8 x)$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \csc (8 x)$

Schritt 6.1.7

Separiere Brüche.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8} \cdot \frac{1}{\cos (8 x)} \csc (8 x)$

Schritt 6.1.8

Wandle von $\frac{1}{\cos (8 x)}$ nach $\sec (8 x)$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8} \sec (8 x) \csc (8 x)$

Schritt 6.1.9

Kombiniere $\frac{x}{8}$ und $\sec (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (8 x)}{8} \csc (8 x)$

Schritt 6.1.10

Kombiniere $\frac{x \sec (8 x)}{8}$ und $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (8 x) \csc (8 x)}{8}$

Schritt 6.2

Ziehe den Term $\frac{1}{8}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0^{+}} x \sec (8 x) \csc (8 x)$

Schritt 6.3

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & x \sec (8 x) \csc (8 x) \\ 0.1 & 0.20008531 \\ 0.01 & 0.12553493 \\ 0.001 & 0.12500533 \\ 0.0001 & 0.12500005 \end{array}$

Schritt 6.4

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0.125$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $0.125$ .

$\frac{1}{8} \cdot 0.125$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.125$ .

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $0.125$ aus $8$ heraus.

$\frac{1}{0.125 (64)} \cdot 0.125$

Schritt 6.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{0.125 \cdot 64} \cdot 0.125$

Schritt 6.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{64}$

Schritt 7

Da der linksseitige Grenzwert gleich dem rechtsseitigen Grenzwert ist, ist der Grenzwert gleich $\frac{1}{64}$ .

$\frac{1}{64}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{64}$

Dezimalform:

$0.015625$