Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\sin^{2} (3 x)}$

Schritt 1

Wandle von $\frac{1}{\sin^{2} (3 x)}$ nach $\csc^{2} (3 x)$ um.

$lim_{x \to 0} x^{2} \csc^{2} (3 x)$

Schritt 2

Schreibe $x^{2} \csc^{2} (3 x)$ als $\frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$

Schritt 3

Stelle den Grenzwert als linksseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$

Schritt 4

Berechne den linksseitigen Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Schritt 4.1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.2.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Schritt 4.1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Schritt 4.1.1.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Schritt 4.1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (3 x)}}$

Schritt 4.1.1.3.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{\csc^{2} (3 x)}$ $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.1.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Schritt 4.1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Schritt 4.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = \csc (3 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Schritt 4.1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Schritt 4.1.3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Schritt 4.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}$

Schritt 4.1.3.4.2

Die Ableitung von $\csc (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Schritt 4.1.3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Schritt 4.1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (3 x) (\csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Schritt 4.1.3.6

Potenziere $\csc (3 x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (3 x) \csc^{- 3} (3 x)) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Schritt 4.1.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {\csc (3 x)}^{1 - 3} (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Schritt 4.1.3.8

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Schritt 4.1.3.9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 4.1.3.10

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.1.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.12

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x)}$

Schritt 4.1.3.13

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.13.1

Schreibe $\csc (3 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 {(\frac{1}{\sin (3 x)})}^{- 2} \cot (3 x)}$

Schritt 4.1.3.13.2

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \cot (3 x)}$

Schritt 4.1.3.13.3

Schreibe $\cot (3 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Schritt 4.1.3.13.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (3 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.13.4.1

Faktorisiere $\sin (3 x)$ aus $6 \sin^{2} (3 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Schritt 4.1.3.13.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Schritt 4.1.3.13.4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Schritt 4.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \sin (3 x) \cos (3 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

Schritt 4.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

Schritt 4.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Schritt 4.1.5

Separiere Brüche.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \cdot \frac{1}{\sin (3 x)}$

Schritt 4.1.6

Wandle von $\frac{1}{\sin (3 x)}$ nach $\csc (3 x)$ um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \csc (3 x)$

Schritt 4.1.7

Separiere Brüche.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)} \csc (3 x)$

Schritt 4.1.8

Wandle von $\frac{1}{\cos (3 x)}$ nach $\sec (3 x)$ um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3} \sec (3 x) \csc (3 x)$

Schritt 4.1.9

Kombiniere $\frac{x}{3}$ und $\sec (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (3 x)}{3} \csc (3 x)$

Schritt 4.1.10

Kombiniere $\frac{x \sec (3 x)}{3}$ und $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (3 x) \csc (3 x)}{3}$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0^{-}} x \sec (3 x) \csc (3 x)$

Schritt 4.3

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ zeigt, wenn sich $x$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & x \sec (3 x) \csc (3 x) \\ - 0.1 & 0.35420643 \\ - 0.01 & 0.33353341 \\ - 0.001 & 0.33333533 \\ - 0.0001 & 0.33333335 \end{array}$

Schritt 4.4

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0.333$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $0.333$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0.333$

Schritt 4.5

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $0.333$ .

$\frac{0.333}{3}$

Schritt 4.5.2

Dividiere $0.333$ durch $3$ .

$0.111$

Schritt 5

Stelle den Grenzwert als rechtsseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$

Schritt 6

Berechne den rechtsseitigen Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Schritt 6.1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.2.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Schritt 6.1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Schritt 6.1.1.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Schritt 6.1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (3 x)}}$

Schritt 6.1.1.3.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{\csc^{2} (3 x)}$ $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 6.1.1.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 6.1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 6.1.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Schritt 6.1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Schritt 6.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Schritt 6.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = \csc (3 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Schritt 6.1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Schritt 6.1.3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Schritt 6.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}$

Schritt 6.1.3.4.2

Die Ableitung von $\csc (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Schritt 6.1.3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Schritt 6.1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (3 x) (\csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Schritt 6.1.3.6

Potenziere $\csc (3 x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (3 x) \csc^{- 3} (3 x)) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Schritt 6.1.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {\csc (3 x)}^{1 - 3} (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Schritt 6.1.3.8

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Schritt 6.1.3.9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 6.1.3.10

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 6.1.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \cdot 1}$

Schritt 6.1.3.12

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x)}$

Schritt 6.1.3.13

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.3.13.1

Schreibe $\csc (3 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 {(\frac{1}{\sin (3 x)})}^{- 2} \cot (3 x)}$

Schritt 6.1.3.13.2

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \cot (3 x)}$

Schritt 6.1.3.13.3

Schreibe $\cot (3 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Schritt 6.1.3.13.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (3 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.3.13.4.1

Faktorisiere $\sin (3 x)$ aus $6 \sin^{2} (3 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Schritt 6.1.3.13.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Schritt 6.1.3.13.4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Schritt 6.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Schritt 6.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \sin (3 x) \cos (3 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

Schritt 6.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

Schritt 6.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Schritt 6.1.5

Separiere Brüche.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \cdot \frac{1}{\sin (3 x)}$

Schritt 6.1.6

Wandle von $\frac{1}{\sin (3 x)}$ nach $\csc (3 x)$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \csc (3 x)$

Schritt 6.1.7

Separiere Brüche.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)} \csc (3 x)$

Schritt 6.1.8

Wandle von $\frac{1}{\cos (3 x)}$ nach $\sec (3 x)$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3} \sec (3 x) \csc (3 x)$

Schritt 6.1.9

Kombiniere $\frac{x}{3}$ und $\sec (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (3 x)}{3} \csc (3 x)$

Schritt 6.1.10

Kombiniere $\frac{x \sec (3 x)}{3}$ und $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (3 x) \csc (3 x)}{3}$

Schritt 6.2

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0^{+}} x \sec (3 x) \csc (3 x)$

Schritt 6.3

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & x \sec (3 x) \csc (3 x) \\ 0.1 & 0.35420643 \\ 0.01 & 0.33353341 \\ 0.001 & 0.33333533 \\ 0.0001 & 0.33333335 \end{array}$

Schritt 6.4

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0.333$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $0.333$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0.333$

Schritt 6.5

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $0.333$ .

$\frac{0.333}{3}$

Schritt 6.5.2

Dividiere $0.333$ durch $3$ .

$0.111$

Schritt 7

Da der linksseitige Grenzwert gleich dem rechtsseitigen Grenzwert ist, ist der Grenzwert gleich $0.111$ .

$0.111$