Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Schritt 1.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1 - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1 - \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 1} x}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \sqrt{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 1.3.4.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 1.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 1.3.4.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 1.3.4.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 1.3.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 1.3.4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 1.3.4.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 1.3.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 1.3.4.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 1.3.4.10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ von $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - 1}$

Schritt 1.3.9

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- 1}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- 1}$

Schritt 1.5

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{- 1}$

Schritt 1.6

Vereinige Faktoren.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{- 1}$ mit $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{- (2 \sqrt{x})}$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{- 2 \sqrt{x}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to 1} \frac{1}{- 2 \sqrt{x}}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $\frac{1}{- 2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- \frac{1}{- 2} lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$- \frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$- \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Schritt 2.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$- \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1}}$

Schritt 4.2

Multipliziere $- - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1}}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

Schritt 4.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$