Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - x} - 1}{x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.6.2

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.6.2.1.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.6.2.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.6.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.6.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - x} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{1 - x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - x}$ als ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.13

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.14

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.15

Kombiniere $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.16

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.17

Schreibe $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ als $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.18

Bringe ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 1.5

Schreibe ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{1 - x}$ um.

$lim_{x \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}} \cdot 1$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}$

Schritt 2.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x}}$

Schritt 2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 2.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 2.8

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Schritt 2.8.2

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.1.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

Schritt 2.8.2.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 2.8.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 2.8.2.3

Mutltipliziere $- \frac{1}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$- 0.5$