Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 1

Stelle den Grenzwert als linksseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 2

Berechne die Grenzwerte, indem du den Wert für die Variable einsetzt.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert von $\frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{9}{0^{0}} - \frac{5^{0}}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{9}{0^{0}} - \frac{5^{0}}{0}$ nicht definiert ist, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$

Schritt 3

Stelle den Grenzwert als rechtsseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4

Berechne den rechtsseitigen Grenzwert.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.1.2

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$9 \frac{lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $x^{x}$ als $e^{\ln (x^{x})}$ um.

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{x})}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.2.2

Zerlege $\ln (x^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (x)}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.4

Schreibe $x \ln (x)$ als $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ um.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$9 \frac{1}{e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.5.1.2

Wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, nimmt $\ln (x)$ ohne Schranke ab.

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.5.1.3

Da der Zähler eine Konstante ist und der Nenner sich $0$ nähert, wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, geht der Bruch $\frac{1}{x}$ gegen unendlich.

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{\infty}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.5.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{\infty}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.5.2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 4.5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.5.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.5.3.3

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.5.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.5.3.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.5.5

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $x^{2}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 4.5.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.5.6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.5.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.5.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.5.6.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.6.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$9 \frac{1}{e^{- lim_{x \to 0^{+}} x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$9 \frac{1}{e^{0}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Schritt 4.7

Da der Zähler positiv ist und der Nenner $x$ gegen null geht und größer als null ist für Werte von $x$ unmittelbar rechts von $0$ , steigt die Funktion ohne Grenzen an.

$9 \frac{1}{e^{0}} - \infty$

Schritt 4.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.8.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$9 (\frac{1}{1}) - \infty$

Schritt 4.8.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 4.8.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 (\frac{1}{1}) - \infty$

Schritt 4.8.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$9 \cdot 1 - \infty$

Schritt 4.8.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$9 - \infty$

Schritt 4.8.1.4

Eine Konstante ungleich Null multipliziert mit Unendlich ergibt Unendlich.

$9 + - \infty$

Schritt 4.8.2

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$- \infty$

Schritt 5

Wenn einer der beiden einseitigen Grenzwerte nicht existiert, dann existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$