Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{10 x^{3} - 3 x^{2} + 7}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{3}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{10 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{10 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{10 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{10 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $10$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{10 + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{10 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{10 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{10 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{10 + \frac{- 3}{x} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{10 - \frac{3}{x} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 10 - \frac{3}{x} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 10 - \frac{3}{x} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 10 - \frac{3}{x} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to \infty} 10 - \frac{3}{x} + \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to \infty} 10 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{5 + 0}{10 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 4.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 + 0}{10 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{5 + 0}{10 - 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 + 0}{10 - 3 \cdot 0 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{5 + 0}{10 - 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{5}{10 - 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{5}{10 + 0 + 7 \cdot 0}$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$\frac{5}{10 + 0 + 0}$

Schritt 8.2.3

Addiere $10 + 0$ und $0$ .

$\frac{5}{10 + 0}$

Schritt 8.2.4

Addiere $10$ und $0$ .

$\frac{5}{10}$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $10$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 (1)}{10}$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$