Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (3 x)}{2 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (3 x)}{x}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $\tan^{2} (3 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} \tan (3 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{2} (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (3 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (3 x)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.2

Die Ableitung von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.8

Stelle die Faktoren von $6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$ um.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)}{1}$

Schritt 2.4

Dividiere $6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot 6 lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot 6 lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)$

Schritt 3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (3 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} \cdot 6 {(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)$

Schritt 3.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)$

Schritt 3.5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)$

Schritt 3.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} 3 x)$

Schritt 3.7

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (3 lim_{x \to 0} x)$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 lim_{x \to 0} x)$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot (2 (3)) \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 3) \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Schritt 5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$3 \sec^{2} (0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Schritt 5.3

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$3 \cdot 1^{2} \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Schritt 5.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 \cdot 1 \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$3 \cdot \tan (0)$

Schritt 5.7

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$3 \cdot 0$

Schritt 5.8

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$0$