Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{1 + (x - 1) \cos (x)}{4 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 + (x - 1) \cos (x)}{x}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + (x - 1) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} (x - 1) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 0} (x - 1) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 0} x - 1 \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.2.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (0 - 1 \cdot 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (0 - 1 \cdot 1) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.8.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (0 - 1) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.8.1.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.8.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.8.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{1 + (x - 1) \cos (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 + (x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 + (x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + (x - 1) \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 1$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.6

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.7

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + x \cdot - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + x \cdot - 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5.2.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + x \cdot - 1 \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5.2.3

Addiere $0$ und $x (- \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{1}$

Schritt 2.4

Dividiere $- x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)$ durch $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} - x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Schritt 3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Schritt 3.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Schritt 3.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (0) + \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (0) + \sin (0) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Schritt 4.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (0) + \sin (0) + \cos (0))$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{4} (0 \cdot 0 + \sin (0) + \cos (0))$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + \sin (0) + \cos (0))$

Schritt 5.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0 + \cos (0))$

Schritt 5.1.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0 + 1)$

Schritt 5.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + 1)$

Schritt 5.3

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{4}$

Dezimalform:

$0.25$