Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{2 t - t^{2}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $\frac{\sqrt{t} + t^{2}}{2 t - t^{2}}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{t} + t^{2}}{2 t - t^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} + t^{2}}{2 t - t^{2}}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $t^{\frac{1}{2}}$ aus $t^{\frac{1}{2}} + t^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{2}}{2 t - t^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $t^{\frac{1}{2}}$ aus $t^{2}$ heraus.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}}}{2 t - t^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $t^{\frac{1}{2}}$ aus $t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{3}{2}})}{2 t - t^{2}}$

Schritt 2.1.3

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} + t^{\frac{3}{2}})}{2 t - t^{2}}$

Schritt 2.1.4

Schreibe $t^{\frac{3}{2}}$ als ${(t^{\frac{1}{2}})}^{3}$ um.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{3})}{2 t - t^{2}}$

Schritt 2.1.5

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1^{2} - 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{2 t - t^{2}}$

Schritt 2.1.6

Vereinfache.

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Schritt 2.1.6.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{2 t - t^{2}}$

Schritt 2.1.6.2

Schreibe $- 1 t^{\frac{1}{2}}$ als $- t^{\frac{1}{2}}$ um.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{2 t - t^{2}}$

Schritt 2.1.6.3

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.6.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{2 t - t^{2}}$

Schritt 2.1.6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{2 t - t^{2}}$

Schritt 2.1.6.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{1}))}{2 t - t^{2}}$

Schritt 2.1.6.4

Vereinfache.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t))}{2 t - t^{2}}$

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{2 t - t^{2}}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $t$ aus $2 t - t^{2}$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $t$ aus $2 t$ heraus.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 2 - t^{2}}$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $t$ aus $- t^{2}$ heraus.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 2 + t (- t)}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot 2 + t (- t)$ heraus.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (2 - t)}$

Schritt 2.3

Bringe $t^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (2 - t) t^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4

Multipliziere $t$ mit $t^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Bewege $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t (2 - t)}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $t^{- \frac{1}{2}}$ mit $t$ .

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Schritt 2.4.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t^{1} (2 - t)}$

Schritt 2.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + 1} (2 - t)}$

Schritt 2.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (2 - t)}$

Schritt 2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{- 1 + 2}{2}} (2 - t)}$

Schritt 2.4.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{1}{2}} (2 - t)}$