Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{12 (1 - \cos (x))}{x^{2}}$

Schritt 1

Ziehe den Term $12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$12 lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$12 \frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$12 \frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$12 \frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$12 \frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$12 \frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$12 \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$12 \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$12 \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$12 \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$12 \frac{0}{0^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$12 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$12 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$12 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$12 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$12 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$12 lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.4.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$12 lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$12 lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.4.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$12 lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.5

Addiere $0$ und $\sin (x)$ .

$12 lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 x}$

Schritt 3

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$12 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

Schritt 4

Wende das Einschnürungstheorem an, da $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ und $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ .

$12 (\frac{1}{2}) \cdot 1$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$2 (6) \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 6 \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$6 \cdot 1$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6$