Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x^{4} + 3 x}{x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{4} + 3 x}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 3 x}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 3 x}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 3 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{4} + 3 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{4} + 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.5.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{4} + 3 x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} + 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} + 3}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} + 3}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $4 x^{3} + 3$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 3$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} 4 x^{3} + lim_{x \to 0} 3$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 3$

Schritt 2.3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 3$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 3$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$4 \cdot 0^{3} + 3$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 \cdot 0 + 3$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 + 3$

Schritt 4.2

Addiere $0$ und $3$ .

$3$