Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x - 3}{4 x + 5}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Schritt 2.1.1.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{- 3}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Schritt 2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{3}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{3}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{3}{x}}{4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{2 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{2 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{2 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{2 - 3 \cdot 0}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

Schritt 4.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 - 3 \cdot 0}{4 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{2 - 3 \cdot 0}{4 + 5 \cdot 0}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{2 + 0}{4 + 5 \cdot 0}$

Schritt 6.1.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2}{4 + 5 \cdot 0}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{2}{4 + 0}$

Schritt 6.2.2

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{2}{4}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{4}$

Schritt 6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$