Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} - \frac{1}{x}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{1}{x \sqrt{1} + x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Um $- \frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x \sqrt{1} + x) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x \sqrt{1} + x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{(x \sqrt{1} + x) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{(x \sqrt{1} + x) x} - \frac{x \sqrt{1} + x}{x (x \sqrt{1} + x)}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x \sqrt{1} + x) x$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x (x \sqrt{1} + x)} - \frac{x \sqrt{1} + x}{x (x \sqrt{1} + x)}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{x - (x \sqrt{1} + x)}{x (x \sqrt{1} + x)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} x - (x \sqrt{1} + x)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Schritt 2.1.2

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert von $x - (x \sqrt{1} + x)$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 - (0 \sqrt{1} + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{0 - (0 \cdot 1 + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0 - (0 + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Schritt 2.1.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Schritt 2.1.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Schritt 2.1.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} x \sqrt{1} + x}$

Schritt 2.1.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot (lim_{x \to 0} x \sqrt{1} + lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.3

Ziehe den Term $\sqrt{1}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot (\sqrt{1} lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} \cdot 0 + lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} \cdot 0 + 0)}$

Schritt 2.1.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.5.1.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 \cdot 0 + 0)}$

Schritt 2.1.3.5.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (0 + 0)}$

Schritt 2.1.3.5.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Schritt 2.1.3.5.3

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.5.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x - (x \sqrt{1} + x)}{x (x \sqrt{1} + x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \sqrt{1} + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \sqrt{1} + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \cdot 1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Schritt 2.3.3

Addiere $x$ und $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Schritt 2.3.6

Berechne $\frac{d}{d x} [- (2 x)]$ .

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Schritt 2.3.6.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Schritt 2.3.6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Schritt 2.3.6.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Schritt 2.3.7

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Schritt 2.3.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.8.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 1 + x)]}$

Schritt 2.3.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x + x)]}$

Schritt 2.3.9

Addiere $x$ und $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (2 x)]}$

Schritt 2.3.10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 (x^{1} x)]}$

Schritt 2.3.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 (x^{1} x^{1})]}$

Schritt 2.3.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{1 + 1}]}$

Schritt 2.3.13

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Schritt 2.3.14

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 (2 x)}$

Schritt 2.3.16

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{4 x}$

Schritt 3

Da sich die Funktion von links $\infty$ , von rechts aber $- \infty$ annähert, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$