Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \sin (x + 2 π) + \cos (x)$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} \sin (x + 2 π) + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\sin (lim_{x \to 0} x + 2 π) + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\sin (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2 π) + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $2 π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\sin (lim_{x \to 0} x + 2 π) + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\sin (lim_{x \to 0} x + 2 π) + \cos (lim_{x \to 0} x)$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\sin (0 + 2 π) + \cos (lim_{x \to 0} x)$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\sin (0 + 2 π) + \cos (0)$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Addiere $0$ und $2 π$ .

$\sin (2 π) + \cos (0)$

Schritt 7.1.2

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\sin (0) + \cos (0)$

Schritt 7.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0 + \cos (0)$

Schritt 7.1.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 + 1$

Schritt 7.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1$