Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

Schritt 2

Wende das Einschnürungstheorem an, da $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ und $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

Schritt 3

Ziehe den Term $\frac{2}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.3.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 4.1.3.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 4.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 4.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 4.3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 5.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Schritt 7.1.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (0)}$ nach $\sec (0)$ um.

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \sec (0)$

Schritt 7.1.3

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 2}{3}$

Schritt 7.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{3}{3}$

Schritt 7.4

Dividiere $3$ durch $3$ .

$1$