Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (18 x)}{4 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sin (18 x)}{x}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (18 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 18 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.2

Ziehe den Term $18$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (18 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (18 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Mutltipliziere $18$ mit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (18 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (18 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (18 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 18 x$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $18 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $18 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (18 x) \frac{d}{d x} [18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18 x$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (18 x) \cdot 18 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (18 x) \cdot 18 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $18$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (18 x) \cdot 18}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.6

Bringe $18$ auf die linke Seite von $\cos (18 x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{18 \cdot \cos (18 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{18 \cos (18 x)}{1}$

Schritt 2.4

Dividiere $18 \cos (18 x)$ durch $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} 18 \cos (18 x)$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $18$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} \cdot 18 lim_{x \to 0} \cos (18 x)$

Schritt 3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{4} \cdot 18 \cos (lim_{x \to 0} 18 x)$

Schritt 3.3

Ziehe den Term $18$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} \cdot 18 \cos (18 lim_{x \to 0} x)$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot 18 \cos (18 \cdot 0)$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2 (2)} \cdot 18 \cos (18 \cdot 0)$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 9) \cos (18 \cdot 0)$

Schritt 5.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 9) \cos (18 \cdot 0)$

Schritt 5.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \cdot 9 \cos (18 \cdot 0)$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $9$ .

$\frac{9}{2} \cos (18 \cdot 0)$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $18$ mit $0$ .

$\frac{9}{2} \cos (0)$

Schritt 5.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{9}{2} \cdot 1$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $1$ .

$\frac{9}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{9}{2}$

Dezimalform:

$4.5$