Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x \csc (2 x)}{\cos (5 x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 3

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (2 x)$

Schritt 4

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $x \csc (2 x)$ zeigt, wenn sich $x$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & x \csc (2 x) \\ - 0.1 & 0.50334895 \\ - 0.01 & 0.50003333 \\ - 0.001 & 0.50000033 \end{array}$

Schritt 5

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0.5$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $x \csc (2 x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $0.5$ .

$0.5$

Schritt 6

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (2 x)$

Schritt 7

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $x \csc (2 x)$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & x \csc (2 x) \\ 0.1 & 0.50334895 \\ 0.01 & 0.50003333 \\ 0.001 & 0.50000033 \end{array}$

Schritt 8

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0.5$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $x \csc (2 x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $0.5$ .

$\frac{0.5}{\cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Separiere Brüche.

$\frac{0.5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 9.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$ nach $\sec (5 \cdot 0)$ um.

$\frac{0.5}{1} \sec (5 \cdot 0)$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0.5}{1} \sec (0)$

Schritt 9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.5$ .

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Schritt 9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.5}{1} \sec (0)$

Schritt 9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sec (0)}{2}$

Schritt 9.5

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$