Analysis Beispiele

lim x \to 0 \frac{x csc (2 x)}{cos (5 x)}

$lim_{x \to 0} \frac{x \csc (2 x)}{\cos (5 x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

x

$x$ sich an

0

$0$ annähert.

\frac{lim x \to 0 x csc (2 x)}{lim x \to 0 cos (5 x)}

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

\frac{lim x \to 0 x csc (2 x)}{cos (lim x \to 0 5 x)}

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Schritt 1.3

Ziehe den Term

5

$5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

x

$x$ ist.

\frac{lim x \to 0 x csc (2 x)}{cos (5 lim x \to 0 x)}

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

\frac{lim x \to 0 x csc (2 x)}{cos (5 lim x \to 0 x)}

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von

x

$x$ durch Einsetzen von

0

$0$ für

x

$x$ .

\frac{lim x \to 0 x csc (2 x)}{cos (5 \cdot 0)}

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 3

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

lim x \to 0^{-} x csc (2 x)

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (2 x)$

Schritt 4

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion

x csc (2 x)

$x \csc (2 x)$ zeigt, wenn sich

x

$x$ von links

0

$0$ annähert.

\begin{matrix} x & x csc (2 x) - 0.1 & 0.50334895 - 0.01 & 0.50003333 - 0.001 & 0.50000033 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & x \csc (2 x) \\ - 0.1 & 0.50334895 \\ - 0.01 & 0.50003333 \\ - 0.001 & 0.50000033 \end{array}$

Schritt 5

Mit Annäherung der

x

$x$ -Werte an

0

$0$ nähern sich die Funktionswerte

0.5

$0.5$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von

x csc (2 x)

$x \csc (2 x)$ für

x

$x$ gegen

0

$0$ gleich

0.5

$0.5$ .

0.5

$0.5$

Schritt 6

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

lim x \to 0^{+} x csc (2 x)

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (2 x)$

Schritt 7

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion

x csc (2 x)

$x \csc (2 x)$ zeigt, wenn sich

x

$x$ von rechts

0

$0$ annähert.

\begin{matrix} x & x csc (2 x) 0.1 & 0.50334895 0.01 & 0.50003333 0.001 & 0.50000033 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & x \csc (2 x) \\ 0.1 & 0.50334895 \\ 0.01 & 0.50003333 \\ 0.001 & 0.50000033 \end{array}$

Schritt 8

Mit Annäherung der

x

$x$ -Werte an

0

$0$ nähern sich die Funktionswerte

0.5

$0.5$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von

x csc (2 x)

$x \csc (2 x)$ für

x

$x$ gegen

0

$0$ gleich

0.5

$0.5$ .

\frac{0.5}{cos (5 \cdot 0)}

$\frac{0.5}{\cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Separiere Brüche.

\frac{0.5}{1} \cdot \frac{1}{cos (5 \cdot 0)}

$\frac{0.5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 9.2

Wandle von

\frac{1}{cos (5 \cdot 0)}

$\frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$ nach

sec (5 \cdot 0)

$\sec (5 \cdot 0)$ um.

\frac{0.5}{1} sec (5 \cdot 0)

$\frac{0.5}{1} \sec (5 \cdot 0)$

Schritt 9.3

Mutltipliziere

5

$5$ mit

0

$0$ .

\frac{0.5}{1} sec (0)

$\frac{0.5}{1} \sec (0)$

Schritt 9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

0.5

$0.5$ .

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Schritt 9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.5}{1} \sec (0)$

Schritt 9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sec (0)}{2}$

Schritt 9.5

Der genau Wert von

$\sec (0)$ ist

$1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$