Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Schritt 1

Stelle den Grenzwert als linksseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{-}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Schritt 2

Berechne die Grenzwerte, indem du den Wert für die Variable einsetzt.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert von $1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\cot (0)}$

Schritt 2.2

Schreibe $\cot (0)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}$

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}$

Schritt 2.4

Da $1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}$ nicht definiert ist, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$

Schritt 3

Stelle den Grenzwert als rechtsseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{+}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Schritt 4

Berechne den rechtsseitigen Grenzwert.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Schritt 4.2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 4.2.1

Schreibe ${\sin (4 x)}^{\cot (x)}$ als $e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}$ um.

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}$

Schritt 4.2.2

Zerlege $\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})$ durch Herausziehen von $\cot (x)$ aus dem Logarithmus.

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$

Schritt 4.3

Da der Exponent $\cot (x) \ln (\sin (4 x))$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$ $0$ an.

$1 + 0$

Schritt 4.4

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5

Wenn einer der beiden einseitigen Grenzwerte nicht existiert, dann existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$