Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1} - \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1} - lim_{x \to 8} \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x^{3} + 1} - lim_{x \to 8} \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 1} - lim_{x \to 8} \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 1} - lim_{x \to 8} \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1} - lim_{x \to 8} \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1} - \sqrt[4]{lim_{x \to 8} x^{4} + 1}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1} - \sqrt[4]{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 1}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1} - \sqrt[4]{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 1}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1} - \sqrt[4]{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 1}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt[3]{8^{3} + 1} - \sqrt[4]{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 1}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt[3]{8^{3} + 1} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

Schritt 11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\sqrt[3]{512 + 1} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

Schritt 11.2

Addiere $512$ und $1$ .

$\sqrt[3]{513} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

Schritt 11.3

Schreibe $513$ als $3^{3} \cdot 19$ um.

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Schritt 11.3.1

Faktorisiere $27$ aus $513$ heraus.

$\sqrt[3]{27 (19)} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

Schritt 11.3.2

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\sqrt[3]{3^{3} \cdot 19} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

Schritt 11.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$3 \sqrt[3]{19} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

Schritt 11.5

Potenziere $8$ mit $4$ .

$3 \sqrt[3]{19} - \sqrt[4]{4096 + 1}$

Schritt 11.6

Addiere $4096$ und $1$ .

$3 \sqrt[3]{19} - \sqrt[4]{4097}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$3 \sqrt[3]{19} - \sqrt[4]{4097}$

Dezimalform:

$0.00471670 \dots$