Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (4 x)}{x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (4 x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} 4 x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Schritt 3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{\sin (4 \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{\sin (4 \frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (4 \frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sin (2 (2) \frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (2 \cdot 2 \frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (2 π) \frac{2}{π}$

Schritt 5.3

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\sin (0) \frac{2}{π}$

Schritt 5.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0 \frac{2}{π}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{π}$ .

$0$