Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{100 x^{2} - 5}{5 x^{2} - 100}$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100 x^{2} - 5$ und $5 x^{2} - 100$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $5$ aus $100 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 8} \frac{5 (20 x^{2}) - 5}{5 x^{2} - 100}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$lim_{x \to 8} \frac{5 (20 x^{2}) + 5 \cdot - 1}{5 x^{2} - 100}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (20 x^{2}) + 5 (- 1)$ heraus.

$lim_{x \to 8} \frac{5 (20 x^{2} - 1)}{5 x^{2} - 100}$

Schritt 1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 8} \frac{5 (20 x^{2} - 1)}{5 (x^{2}) - 100}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $5$ aus $- 100$ heraus.

$lim_{x \to 8} \frac{5 (20 x^{2} - 1)}{5 x^{2} + 5 \cdot - 20}$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2} + 5 \cdot - 20$ heraus.

$lim_{x \to 8} \frac{5 (20 x^{2} - 1)}{5 (x^{2} - 20)}$

Schritt 1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 8} \frac{5 (20 x^{2} - 1)}{5 (x^{2} - 20)}$

Schritt 1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 8} \frac{20 x^{2} - 1}{x^{2} - 20}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 20 x^{2} - 1}{lim_{x \to 8} x^{2} - 20}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 20 x^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{2} - 20}$

Schritt 4

Ziehe den Term $20$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{20 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{2} - 20}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{20 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{2} - 20}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{20 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x^{2} - 20}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{20 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 20}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{20 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 20}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $20$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{20 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 20}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{20 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 20}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{20 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}{8^{2} - 1 \cdot 20}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{20 \cdot 64 - 1 \cdot 1}{8^{2} - 1 \cdot 20}$

Schritt 11.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $64$ .

$\frac{1280 - 1 \cdot 1}{8^{2} - 1 \cdot 20}$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1280 - 1}{8^{2} - 1 \cdot 20}$

Schritt 11.1.4

Subtrahiere $1$ von $1280$ .

$\frac{1279}{8^{2} - 1 \cdot 20}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{1279}{64 - 1 \cdot 20}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$\frac{1279}{64 - 20}$

Schritt 11.2.3

Subtrahiere $20$ von $64$ .

$\frac{1279}{44}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1279}{44}$

Dezimalform:

$29.06\overline{81}$